Метод площадей

Схема доказательства теоремы Пифагора.

Метод площадей — метод решения геометрических тождеств путём подсчёта площадей фигур разными способами.

Методом площадей также доказываются теорема Пифагора, теорема о биссектрисе, теорема Чевы и многие другие.

Пример: Доказательство Евклида теоремы Пифагора

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности $\triangle ACK\cong \triangle ABD$, площадь которых составляет половину площади прямоугольников $AHJK$ и $ACED$ соответственно.

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла, с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства, следующая: для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ с прямым углом $C$, квадратов над катетами $ACED$ и $BCFG$ и квадрата над гипотенузой $ABIK$ строится высота $CH$ и продолжающий её луч $s$, разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника — $AHJK$ и $BHJI$. Доказательство нацелено на установление равенства между площадями прямоугольника $AHJK$ и квадрата над катетом $AC$; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника $AHJK$ и $ACED$ устанавливается через конгруэнтность треугольников $\triangle ACK$ и $\triangle ABD$, площадь каждого из которых равна половине площади квадратов $AHJK$ и $ACED$ соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при $A$).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составленного из прямоугольников $AHJK$ и $BHJI$, равна сумме площадей квадратов над катетами.

Литература

• 9.3 в И.Ф. Шарыгин. Геометрия 7—9,. — М.: Дрофа, 1997. — 352 с.